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因式定理怎么理解

2023-02-19 11:28:08文/周傳杰

因式定理:如果多項(xiàng)式f(a)=0,那么多項(xiàng)式f(x)必定含有因式x-a。反過(guò)來(lái),如果f(x)含有因式x-a,那么,f(a)=0。

因式定理怎么理解

因式定理的定義是什么

推廣:“ax-b為f(x)的因式”等價(jià)于f(b/a)=0。

余式定理:當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式f(x)除以(x–a)時(shí),所得的余數(shù)等于f(a)。

例1:當(dāng)除以(x–1)時(shí),則余數(shù)等于。

整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)除以(x-a)商為q(x),余式為r,則。

如果多項(xiàng)式r=0,那么多項(xiàng)式f(x)必定含有因式(x-a)。反過(guò)來(lái),如果f(x)含有因式(x-a),那么,r=0。

余式定理的推論

當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式f(x)除以(mx–n)時(shí),所得的余數(shù)等于f(n/m)。

例2:求當(dāng)除以(3x+1)時(shí)所得的余數(shù)。

設(shè)f(x)=9x^2+6x–7,則余數(shù)f(-1/3)=1-2-7=-8。

多項(xiàng)式的因式分解

因式定理普遍應(yīng)用于找到一個(gè)多項(xiàng)式的因式或多項(xiàng)式方程的根的兩類問(wèn)題。從定理的推論結(jié)果,這些問(wèn)題基本上是等價(jià)的。

若多項(xiàng)式中已知一個(gè)或數(shù)個(gè)零點(diǎn),因式定理也可以移除多項(xiàng)式中已知零點(diǎn)的部分,變成一個(gè)階數(shù)較低的多項(xiàng)式,其零點(diǎn)即為原多項(xiàng)式中剩下的零點(diǎn),以簡(jiǎn)化多項(xiàng)式求根的過(guò)程。方法如下:

(1)先設(shè)法找出多項(xiàng)式$f$的一個(gè)零點(diǎn)$a$。

(2)利用因式定理確認(rèn)$(x-a)$是多項(xiàng)式$f(x)$的因式。

(3)計(jì)算多項(xiàng)式$g(x)=frac{f(x)}{x-a}$。

(4)$f(x)=0$中,所有滿足$x≠a$的根$x$都是方程式$g(x)=0$的根。因?yàn)?g(x)$的多項(xiàng)式階數(shù)較$f(x)$要小。因此要找出多項(xiàng)式$g$的零點(diǎn)可能會(huì)比較簡(jiǎn)單。

(5)欲使$A=BQ+R$成立,就令除式$BQ=0$,則被除式$A=R$能使此方程式成立則被除式=(商式)(除式)+余式。

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