有界數列一定收斂嗎

有界數列不一定收斂。例如，已知數列{(-1)^n}是有界的，但它卻是發散的。換句話說，有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件。又例如數列{b(n)}，b(n)=(-1)^n，|b(n)|<=1{b(n)}有界，b(n)為擺動數列，但是不收斂。

有界數列定義

數列{Xn}滿足：對一切n有Xn≤M（其中M是與n無關的常數）稱數列{Xn}上有界（有上界）并稱M是他的一個上界。

對一切n有Xn≥m（其中m是與n無關的常數）稱數列{Xn}下有界（有下界）并稱m是他的一個下界。

一個數列{Xn}，若既有上界又有下界，則稱之為有界數列。顯然數列{Xn}有界的一個等價定義是：存在正實數X，使得數列的所有項都滿足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。